Question

如圖，A為⊙O外的一點，OA交⊙O于點C，AB是⊙O的切線，B是切點，∠A=30°，

BC

的長為

4

3

π，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),弧長的計算,扇形面積的計算

專題：

分析：如圖，連接OB．利用切線的性質(zhì)判定△ABO是含30度角的直角三角形，利用該三角形的性質(zhì)和弧長公式求得該圓的半徑和AB的長度，然后借助于圖形得到陰影部分的面積=三角形ABO的面積-扇形的面積．

解答：解：如圖，連接OB．
∵AB是⊙O的切線，B是切點，
∴∠ABO=90°．
又∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵

BC

的長為

4

3

π，
∴

60π•OB

180

=

4

3

π，
則OB=4．
∴AB=OBcot30°=4

3

．
∴S_陰影=S_△AOB-S_扇形BCO=

1

2

AB•OB-

1

2

×

4

3

π×4=

1

2

×4

3

×4-

8

3

π=8

3

-

8

3

π，即陰影部分的面積是8

3

-

8

3

π．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、弧長的計算以及扇形面積的計算．能夠把不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積進行計算．