Question

如圖，△ABC中，AB=AC，EF為過A的任一直線，CF⊥BC，BE⊥BC，求證：AE=AF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過E作EQ⊥BE，交FC的延長線與Q，連接AQ，求出四邊形BEQC是矩形，推出BE=CQ，∠FQE=90°，求出∠ABE=∠ACQ，根據(jù)SAS推出△ABE≌△ACQ，根據(jù)全等得出AE=AQ，求出∠AEQ=∠AQE，∠F=∠FQA，推出AF=AQ即可．

解答：證明：過E作EQ⊥BE，交FC的延長線與Q，連接AQ，

∵CF⊥BC，BE⊥BC，
∴∠EBC=∠BEQ=∠BCQ=90°，
∴四邊形BEQC是矩形，
∴BE=CQ，∠FQE=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠BCQ=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
在△ABE和△ACQ中，

AB=AC ∠ABE=∠ACQ BE=CQ

，
∴△ABE≌△ACQ（SAS），
∴AE=AQ，
∴∠AEQ=∠AQE，
∵∠EQF=90°，
∴∠F+∠FQA=90°，∠FQA+∠EQA=90°，
∴∠F=∠FQA，
∴AF=AQ，
∴AE=AF．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應用，正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．