Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形紙片ABCD的點(diǎn)B坐標(biāo)為（9，3），若把圖形按要求折疊，使B、D兩點(diǎn)重合，折痕為EF．
（1）△DEF是等腰三角形嗎？說(shuō)明理由；
（2）求折痕EF的長(zhǎng)及所在直線的解析式；
（3）四邊形ADFE與四邊形CBEF是否是成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形？如果是，畫(huà)出對(duì)稱中心并說(shuō)明理由；如果不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得AB∥OC，又由折疊的性質(zhì)可得：∠BEF=∠OEF，即可證得∠OEF=∠OFE，則可得OE=OF；
（2）首先設(shè)BE=OE=x，則AE=9-x，可得方程（9-x）²+3²=x²，繼而求得點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，即可求得折痕EF的長(zhǎng)，然后利用待定系數(shù)法求得此一次函數(shù)的解析式；
（3）首先連接BD交EF于M，由B、D關(guān)于EF對(duì)稱，可得BM=DM，EM⊥BD，繼而易證得EM=FM可得E、F關(guān)于M成中心對(duì)稱，B、D關(guān)于M成中心對(duì)稱，又由M為BD的中點(diǎn)，即可證得A、C關(guān)于M成中心對(duì)稱．繼而證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠BEF=∠OFE，
由折疊的性質(zhì)可得：∠BEF=∠OEF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰三角形；

（2）設(shè)BE=OE=x，則AE=9-x，
在Rt△AEO中，AE²+OA²=OE²，
∴（9-x）²+3²=x²，
解得：x=5，
∴OF=OE=5，AE=4，
∴E（4，3），F(xiàn)（5，0），
∴EF=

32+12

=

10

，
設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，
則

4k+b=3 5k+b=0

，
解得：

k=-3 b=15

，
∴直線EF的解析式為y=-3x+15；

（2）四邊形ADFE與四邊形CBEF是成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形．
理由：連接BD交EF于M，
∵B、D關(guān)于EF對(duì)稱，
∴BM=DM，EM⊥BD，
∵AB∥OC，
∴△BME∽△DMF，
∴EM：FM=BM：DM，
∴EM=FM
∴E、F關(guān)于M成中心對(duì)稱，B、D關(guān)于M成中心對(duì)稱，
又∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，
∴A、C關(guān)于M成中心對(duì)稱．
∴四邊形AEFD與四邊形CFEB關(guān)于M成中心對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及中心對(duì)稱的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．