Question

如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）判斷CP與CB是否相等？為什么？
（2）若AP=10，OP=6，求⊙O的半徑和BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）要證明RP=RQ，需要證明∠PQR=∠RPQ，連接OQ，則∠OQR=90°；根據(jù)OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根據(jù)等角的余角相等即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理求得半徑OA，即可求得OB=OA=8，設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到8²+x²=（x+6）²，然后解方程即可．

解答：解：（1）CP與CB相等；
理由：連接OB；
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBA+∠ABC=90°．
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A=90°．
又∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA．
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB，
∴CP=CB；
（2）∵AP=10，OP=6，
∴OA=

AP2-OP2

=8，
∴OB=8，
∴圓的半徑為8，
設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，OC=PC+OP=x+6，
∵OB²+BC²=OC²，
∴8²+x²=（x+6）²，
解得x=

7

3

，
即BC的長(zhǎng)為

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考點(diǎn)較多，難度適中．