Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD+BC=AB，以AB為直徑作⊙O．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）試探索以CD為直徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,直線與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：（1）首先過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，易證得OE是梯形ABCD的中位線，可得OE=

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2

（AD+BC），又由AD+BC=AB，以AB為直徑作⊙O．可得OE等于⊙O的半徑．
（2）設(shè)圓心為O′．首先過點(diǎn)O′作O′F⊥CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)O′作O′M∥AD，易證得△AO′D≌△FO′D（AAS），即可得O′F=O′A=

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2

AB，則可判定CD與⊙O′相切．

解答：（1）證明：過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥OE∥BC，
∵OA=OB，
∴OE是梯形ABCD的中位線，
∴OE=

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2

（AD+BC），
∵AD+BC=AB，
∴OE=

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AB，
∵以AB為直徑作⊙O．
∴直線CD是⊙O的切線．

（2）設(shè)圓心為O′．過點(diǎn)O′作O′F⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)O′作O′M∥AD，
∴O′M是梯形ABCD的中位線，
∴O′M=

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（AD+BC）=

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AB=DM，
∴∠O′DM=∠DO′M，
∵AD∥O′M，
∴∠ADO′=∠DO′M=∠O′DM，
在△AO′D和△FO′D中，

∠ADO′=∠FDO′ ∠A=∠O′FD=90° O′D=O′D

，
∴△AO′D≌△FO′D（AAS），
∴O′F=O′A=

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AB，
即CD與⊙O′相切．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定以及梯形的中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．