已知直線y=kx-4(k>0)與x軸和y軸分別交于A、C兩點;開口向上的拋物線y=ax2+bx+c過A、C兩點,且與x軸交于另一點B.
(1)如果A、B兩點到原點O的距離AO、BO滿足AO=3BO,點B到直線AC的距離等于
165
,求這條直線和拋物線的解析式.
(2)問是否存在這樣的拋物線,使得tan∠ACB=2,且△ABC的外接圓截y軸所得的弦長等于5?若存在,求出這樣的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
分析:(1)本題可通過構(gòu)建直角三角形求解,過B作BE⊥AC于E,交y軸于D,可根據(jù)直線的解析式用k表示出OA、OB的長,即可得出AB的長,已知了BE的長度,可用勾股定理求出AE的長;
AE長的另一種表示方法:在直角三角形ABE中,∠BAE的正弦值正好是斜率k,因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的長表示出AE,然后聯(lián)立兩個AE的表達式即可求出k的值.進而可求出直線的解析式和拋物線的解析式.
(2)已知了C點坐標,關(guān)鍵是確定拋物線的二次項系數(shù)和一次項系數(shù).可用韋達定理來求解.已知了三角形ABC的外接圓(設(shè)圓心為P)截y軸的弦長為5,那么OD=1,根據(jù)相交弦定理可求出OA•OB的值,即可得出韋達定理中兩根積的值,即可求出二次項系數(shù)的值.連AP、BP,過P作PE⊥x軸于E,PF⊥y軸于F.
根據(jù)垂徑定理和圓周角定理不難得出∠ACB=∠APE,那么tan∠APE=2,據(jù)此可求出AE和AB的長,即可得出A、B橫坐標差的絕對值,由此可求出一次項系數(shù)的值,即可確定拋物線的解析式.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)易知:A(
4
k
,0),
因此OA=
4
k
,OB=
4
3k
,B(-
4
3k
,0),
∴AB=
16
3k
,
過B作BE⊥AC于E,交y軸于D,在直角三角形ABE中,
AE=
AB2-BE2
=
(
16
3k
)
2
-(
16
5
)
2

根據(jù)直線AC的斜率可知:直角三角形ABE中,tan∠BAE=k,
因此AE=
BE
k
=
16
5k
,即:
(
16
3k
)
2
-(
16
5
)
2
=
16
5k
,
解得k=
4
3
(負值舍去).
∴直線的解析式為y=
4
3
x-4.
∴A(3,0),B(-1,0)
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)(x+1),
由于拋物線過C(0,-4),
則有:a(0-3)(0+1)=-4,a=
4
3
,
∴拋物線的解析式為y=
4
3
x2-
8
3
x-4.

(2)假設(shè)存在這樣的拋物線,其解析式為y=ax2+bx-4.
設(shè)△ABC的外接圓圓心為P,連AP、BP,過P作PE⊥x軸于E,PF⊥y軸于F.
精英家教網(wǎng)∵圓P截y軸所得弦長為5,且過點A、B及C(0,-4).
∴圓P過點D(0,1)
∴P點在x軸下方,
∴CF=DF=
5
2
,PE=OF=4-
5
2
=
3
2

∵∠APE=
1
2
∠APB=∠ACB,
∴tan∠APE=
AE
PE
=tan∠ACB=2,
∴AE=2PE=3,
∴AB=2AE=6,
∵OA•OB=OC•OD,即-x1x2=4.
4
a
=4,a=1.
∴拋物線的解析式為y=x2+bx-4.
∵AB=6,
∴x1-x2=6.
∴(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=b2+16=36.
∴b=±2
5

∴存在這樣的拋物線y=x2±2
5
x-4.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定,綜合考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的外接圓等知識點,綜合性強,難度較大.
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4
27
x2
+
22
3
交于點A(3,6).
(1)求直線y=kx的解析式和線段OA的長度;
(2)點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點,過點P作直線PM,交x軸于點M(點M、O不重合),交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;
(3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點,點E在線段OA上(與點O、A不重合),點D(m,0)是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個?

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平移
3
3
個單位長度而得到.

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已知直線y=kx+2-4k(k為實數(shù)),不論k為何值,直線都經(jīng)過定點
(4,2)
(4,2)

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