Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1），下列結(jié)論：①abc＜0；②b²-4ac＞0；③a+b+c＜0；④a+b=0；⑤4ac•b²=4a．其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口方向得到a＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得到c＞0，由拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=

1

2

，得到b=-a＞0，于是可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的各數(shù)對②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在（1，0）右邊，則x=1時(shí)，函數(shù)值為正數(shù)，于是可對③進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱軸得到b=-a，則可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可對⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸交于（0，c），
∴c＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=

1

2

，
∴b=-a＞0，
∴abc＜0，所以①其中；
∵拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=

1

2

，拋物線與x軸的一個交點(diǎn)在（0，0）的左邊，
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在（1，0）右邊，
∴x=1時(shí)，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以③錯誤；
∵b=-a，
∴a+b=0，所以④正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，1），
∴

4ac-b2

4a

=1，
∴4ac-b²=4a，所以⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。�當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c）．當(dāng)△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．