Question

已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD=AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．

（1）求證：△ABC∽△FCD；

（2）若S_△FCD=5，BC=10，求DE的長．

　

Answer 1

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積． 

專題： 幾何綜合題．

分析： （1）利用D是BC邊上的中點，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以證明題目結(jié)論；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出三角形ABC的面積，然后利用面積公式就求出了DE的長．

解答： （1）證明：∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD．

∵D是BC邊上的中點，DE⊥BC，

∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB．

∴△ABC∽△FCD；

（2）解：過A作AM⊥CD，垂足為M．

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴=．

∵S_△FCD=5，

∴S_△ABC=20．

又∵S_△ABC=×BC×AM，BC=10，

∴AM=4．

又DM=CM=CD，DE∥AM，

∴DE：AM=BD：BM=，

∴DE=．

點評： 此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，也利用了三角形的面積公式求線段的長．