Question

【題目】（題文）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，以線段MN為對(duì)角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ=MN時(shí)，求菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1) ，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，-8) (2) 點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7，)或(5，)(3) 菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為或.

【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法，列方程求二次函數(shù)解析式.(2)利用解析法，∠FAB=∠EDB， tan∠FAG=tan∠BDE，求出F點(diǎn)坐標(biāo).(3)分類討論，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，在x軸下方時(shí)分別計(jì)算MN.

詳解：

(1)∵OB=OC=6，

∴B(6，0)，C(0，-6).

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為.

∵=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，-8).

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x，).過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，易求得OA=2，則AG=x+2，FG=.

∵∠FAB=∠EDB，

∴tan∠FAG=tan∠BDE，

即，

解得，(舍去).

當(dāng)x=7時(shí)，y=，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7，).

當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，設(shè)同理求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5，).

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7，)或(5，).

(3)∵點(diǎn)P在x軸上，

∴根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0).

如圖，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，設(shè)T為菱形對(duì)角線的交點(diǎn).

∵PQ=MN，

∴MT=2PT.

設(shè)TP=n，則MT=2n. ∴M(2+2n，n).

∵點(diǎn)M在拋物線上，

∴，即.

解得，(舍去).

∴MN=2MT=4n=.

當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，設(shè)TP=n，得M(2+2n，-n).

∵點(diǎn)M在拋物線上，

∴，

即.

解得，(舍去).

∴MN=2MT=4n=.

綜上所述，菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為或.