Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=2

3

，O是AC上一點(diǎn)，AO=m，且⊙O的半徑長(zhǎng)為1，求：
（1）線段AB與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．
（2）線段AB與⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）作OE⊥AB于E，如圖，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=4，再證明△AEO∽△ABC，利用相似比得到OE=

3

2

m，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)線段AB與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，OE＞1，即

3

2

m＞1，解得m＞

2 3

3

，于是得到m的取值范圍為

2 3

3

＜m≤4；
（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)線段AB與⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，OE＜1，即

3

2

m＜1，解得m＜

2 3

3

，由此可得m的取值范圍為0≤m＜

2 3

3

．

解答：解：（1）作OE⊥AB于E，如圖，
在Rt△ABC中，∵AB=2，BC=2

3

，
∴AC=

AB2+BC2

=4，
∵OE∥BC，
∴△AEO∽△ABC，
∴

AO

AC

=

OE

BC

，即

m

4

=

OE

2 3

，
∴OE=

3

2

m，
當(dāng)線段AB與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，OE＞1，
即

3

2

m＞1，
解得m＞

2 3

3

，
∴m的取值范圍為

2 3

3

＜m≤4；
（2）當(dāng)線段AB與⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，OE＜1，
即

3

2

m＜1，
解得m＜

2 3

3

，
∴m的取值范圍為0≤m＜

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．