Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=

4

5

．下列結(jié)論：
①△ADE∽△ACD；
②當(dāng)BD=6時(shí)，△ABD與△DCE全等；
③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或

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；
④0＜CE≤6.4．
其中正確的結(jié)論是

 

．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：推理填空題

分析：①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明．
②由BD=6，則DC=10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且?jiàn)A邊也相等的三角形全等，即可證得．
③分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得．
④依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．

解答：解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正確，

②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=

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5

，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×

4

5

=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD與△DCE中，

∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AB=DC

∴△ABD≌△DCE（ASA）．
故②正確，

③當(dāng)∠AED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=

4

5

，AB=10，
BD=8．
當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=

4

5

．AB=10，
∴cosB=

AB

BD

=

4

5

，
∴BD=

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2

．
故③正確．

④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，
設(shè)BD=y，CE=x，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，
∴

10

16-y

=

y

x

，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∴0＜x≤6.4．
故④正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)等．