Question

【題目】如圖1，一次函數(shù)y＝x+4與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n．

（1）當(dāng)△BPO∽△ABO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)y＝2x+b與直線(xiàn)AB相交于C，求當(dāng)△PAC的面積為20時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖3，直接寫(xiě)出當(dāng)以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣2，0）或（2，0）；（2）P（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0）或（8，0）或（﹣3，0）．

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)求出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而求出OA，OB，最后用相似三角形得出比例式建立方程即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，點(diǎn)P坐標(biāo)，利用三角形的面積公式建立方程求解即可得出結(jié)論；

（3）先求出AB2＝80，AP2＝（n+8）2，BP2＝n2+16，利用等腰三角形分三種情況建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）一次函數(shù)y＝x+4，

令x＝0，

∴y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

令y＝0，

∴0＝x+4，

∴x＝﹣8，

∴A（﹣8，0），

∴OA＝8，

∵△BPO∽△ABO，

∴,

∴OP＝＝2，

∴n＝±2，

∴P（﹣2，0）或（2，0）；

（2）直線(xiàn)y＝2x+b①與直線(xiàn)AB：y＝x+4②相交于C，

聯(lián)立①②解得，，

針對(duì)于直線(xiàn)PC：y＝2x+b，令y＝0，

∴2x+b＝0，

∴x＝﹣b，

∵△PAC的面積為20，

∴S△PAC＝|﹣b﹣（﹣8）|×||＝20，

∴b＝16±4，

∴n＝﹣（16±4）＝﹣4±2，

∴P（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；

（3）由（1）知，A（﹣8，0），B（0，4），

∵P（n，0），

∴AB2＝80，AP2＝（n+8）2，BP2＝n2+16，

∵以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，

∴①當(dāng)AB＝AP時(shí)，

∴AB2＝AP2，

∴80＝（n+8）2，

∴n＝﹣8±4，

∴P（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0），

②當(dāng)AB＝BP時(shí)，

∴AB2＝BP2，80＝n2+16，

∴n＝8或n＝﹣8（和點(diǎn)A重合，所以，舍去），

∴P（8，0），

③當(dāng)AP＝BP時(shí)，

∴AP2＝BP2，（n+8）2＝n2+16，

∴n＝﹣3，

∴P（﹣3，0），

即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8+4，0）或（﹣8﹣4，0）或（8，0）或（﹣3，0）．