【題目】如圖,RtABC中,C=90°,O為AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB長為半徑的圓,交BC邊于點(diǎn)D,與AC邊相切于點(diǎn)E.

(1)求證:BE平分ABC;

(2)若CD:BD=1:2,AC=4,求CD的長.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)由切線的性質(zhì)可知OEAC,從而可證明OEBC,由平行線的性質(zhì)可知OEB=EBC,由OE=OB可知OEB=OBE,于是得到OBE=EBC;

(2)過O作OFBC于點(diǎn)F,連接OD,OE.(2)如圖2所示:過O作OFBC于點(diǎn)F,連接OD,OE.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知:DF=BF,由CD:BD=1:2可知CD=DF=FB,然后根據(jù)由三角是直角的四邊形為矩形可知四邊形OECF為矩形,于是得到CF=EO,從而可證明ODB為等邊三角形,然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得BC=,故此可求得CD=

(1)證明:連接OE.

OE=OB,

∴∠OEB=OBE

ACO相切,

OEAC,即OEA=90°

∴∠C=OEA=90°,

OEBC

∴∠OEB=EBC

∴∠OBE=EBC

BE平分ABC

(2)如圖2所示:過O作OFBC于點(diǎn)F,連接OD,OE.

OD=OB,OFBD,

DF=BF

CD:BD=1:2,

CD=DF=FB

∵∠OEC=C=OFC=90°,

四邊形OECF為矩形.

CF=EO

OE=BD=OD=OB

∴△ODB為等邊三角形.

∴∠ABC=60°

AC=4,

BC=

CD=×BC=

練習(xí)冊系列答案
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