Question

在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，如圖1，當(dāng)∠BAD=120°，∠ABD與∠ADC互補時，可得結(jié)論BC=AB+AD．
（1）如圖2，當(dāng)∠BAD=60°，∠ABD與∠ADC互補時，線段BC、AB、AD有怎樣數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想并給予證明．
（2）如圖3，當(dāng)∠BAD=45°，∠ABD與∠ADC互補時，線段BC、AB、AD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）作DE⊥AB，BF⊥BC的延長線，垂足分別為E、F．在BE上取一點G，使EG=CF，連結(jié)GD，由角平分線的性質(zhì)就可以得出DE=DF，就可以得出△AED≌△CFD，就有AE=CF，得出AE=GE，就有AD=GD，由∠A=60°就可以得出△AGD是等邊三角形，進而得出AG=AD，得出結(jié)論AB=BC+AD；
（2）作DE⊥AB，BF⊥BC的延長線，垂足分別為E、F．在BE上取一點G，使EG=CF，連結(jié)GD，由角平分線的性質(zhì)就可以得出DE=DF，就可以得出△AED≌△CFD，就有AE=CF，得出AE=GE，就有AD=GD，由∠A=45°就可以得出△AGD是等腰直角三角形，AG=

2

AD，從而得出結(jié)論AB=BC+

2

AD．

解答：解：（1）AB=BC+AD．
理由：作DE⊥AB，BF⊥BC的延長線，垂足分別為E、F．在BE上取一點G，使EG=CF，連結(jié)GD，
∴∠AED=∠BED=∠BFD=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴EG=CF，∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD+∠ADC=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
∵∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A=∠DCF．
在△AED和△CFD中，

∠A=∠DCF ∠AED=∠BFD DE=DF

，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE=CF，
∴GE=AE．
∴AD=GD．
∵∠A=60°，
∴△AGD是等邊三角形．
∴AD=AG．
在△ADG和△ADF中，

∠ABD=∠CBD ∠BED=∠BFD BD=BD

，
∴△ADG≌△ADF（AAS），
∴BE=BF．
∴BE-GE=BF-CF，
∴BG=BC．
∵AB=BG+AG，
∴AB=BC+AD．
（2）AB=BC+

2

AD．
理由：作DE⊥AB，BF⊥BC的延長線，垂足分別為E、F．在BE上取一點G，使EG=CF，連結(jié)GD，
∴∠AED=∠BED=∠BFD=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴EG=CF，∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD+∠ADC=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
∵∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠A=∠DCF．
在△AED和△CFD中，

∠A=∠DCF ∠AED=∠BFD DE=DF

，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AE=CF，
∴GE=AE．
∴AD=GD．
∴∠A=∠AGD，
∵∠A=45°，
∴∠AGD=45°，
∴∠ADG=90°
∴△AGD是等腰直角三角形．
∴AG=

2

AD．
在△ADG和△ADF中，

∠ABD=∠CBD ∠BED=∠BFD BD=BD

，
∴△ADG≌△ADF（AAS），
∴BE=BF．
∴BE-GE=BF-CF，
∴BG=BC．
∵AB=BG+AG，
∴AB=BC+

2

AD．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，四邊形的性質(zhì)的運用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．