Question

如圖，在▱ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，連接BD．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根據(jù)ASA推出全等即可；

（2）根據(jù)全等得出AE=CF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠DEB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．

【解答】證明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB．

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．

∴∠ABE=∠CDF．

∵在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四邊形DFBE是平行四邊形，

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∴平行四邊形DFBE是矩形．

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．