Question

如圖，已知P是等邊△ABC的BC邊上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作AB、AC的垂線PE、PD，垂足為E、D．問：△AED的周長(zhǎng)與四邊形EBCD的周長(zhǎng)之間的關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：△AED的周長(zhǎng)與四邊形EBCD的周長(zhǎng)相等．由于DE是△AED與四邊形EBCD的公共邊，所以只需證明AD+AE=BE+BC+CD．

解答：解：△AED的周長(zhǎng)與四邊形EBCD的周長(zhǎng)相等．理由如下：
在等邊△ABC中，∠B=∠C=60°，
∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，
∴∠BPE=∠CPD=30°．
不妨設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，BE=x，CD=y，那么BP=2x，PC=2y，
∵2x+2y=1，
∴x+y=

1

2

，
∵AE=1-x，AD=1-y，
∴AE+AD=2-（x+y）=

3

2

，
又∵BE+CD+BC=（x+y）+1=

3

2

，
∴AD+AE=BE+BC+CD，
∴AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE，
即△AED的周長(zhǎng)與四邊形EBCD的周長(zhǎng)相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形、四邊形的周長(zhǎng)，難度適中．設(shè)出輔助未知數(shù)，運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．