Question

【題目】如圖，在中，，，垂足為，點是邊上的一個動點，過點作交線段于點，作交于點，交線段于點，設．

（1）用含的代數式表示線段的長；

（2）設的面積為，求與之間的函數關系式，并寫出定義域；

（3）若為直角三角形，求出的長．

Answer 1

【答案】（1） ；（2），；（3）或

【解析】

（1）根據題意可得△ABC和△BPF為等邊三角形，由及等邊三角形的性質得出PF=GF=x，從而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1；

（2）由含30°直角三角形的性質表示出DE，由（1）可表示出DF，再根據三角形面積的計算公式即可解答；

（3）若為直角三角形，則∠PFE=90°或∠PEF=90°，根據直角三角形的性質列出方程求解即可．

解：（1）∵在中，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵

∴∠BPF=∠BAC=∠BFP=60°，

∴△BPF為等邊三角形，

∴BF=BP=PF=x，∠PFC=120°，

∵

∴∠BPE=90°，

∴∠FPE=30°，

∴∠FGP=30°，

∴PF=GF=x

又∵AD⊥BC，

∴BD=CD=1，

∴DG=BF+FG-BD=2x-1

故

（2）由（1）可知DF=BD-BF=1-x，

∵∠FGP=30°，∠ADG=90°，

∴EG=2DE

由勾股定理得：，

∴

∴，

∴

∵，解得，

∴定義域為：

（3）∵∠FPG=30°，

∴若為直角三角形，則∠PFE=90°或∠PEF=90°，

①當∠PFE=90°時，

∠EFD=120°-90°=30°，

∴△EFG為等腰三角形，

∴DF=DG

∵DF=1-x，DG=2x-1，

∴1-x =2x-1

解得：

②當∠PEF=90°時，

∠FED=90°-60°=30°，

∴DE=，

∵，DF=1-x，

∴，

解得：

綜上所述，的長為或．