Question

如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AD，∠EAD=∠BAD．
（1）求證：AB=AE+CE；
（2）已知AD=

1

2

BC，請判斷△ACE形狀并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長ED交AB于點F，證得AF=AE，DF=DE和△BFD≌△CED，求得結(jié)論；
（2）求得∠ACE=90°，得出△ACE為直角三角形．

解答：（1）證明：如圖，

延長ED交AB于點F，
∵∠EAD=∠BAD，DE⊥AD，
∴AF=AE，DF=DE，
又∵D是BC中點，
∴BD=CD，
在△BFD和△CED中，

DE=DF ∠BDF=∠CDE BD=CD

∴△BFD≌△CED（SAS），
∴EC=BF，
∴AB=AF+BF=AE+EC；

（2）∵AD=

1

2

BC，D為BC中點，
∴∠BAC=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ABC=∠BCE，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE為直角三角形．

點評：此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，注意作出輔助線，轉(zhuǎn)化思路，解決問題．