Question

【題目】定義：若拋物線與拋物線的開口大小相同，方向相反，且拋物線經(jīng)過的頂點(diǎn)，我們稱拋物線為的“友好拋物線”．

（1）若的表達(dá)式為，求的“友好拋物線”的表達(dá)式；

（2）已知拋物線為的“友好拋物線”．求證：拋物線也是的“友好拋物線”；

（3）平面上有點(diǎn)，，拋物線為的“友好拋物線”，且拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線與線段沒有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的“友好拋物線”為：；（2）見解析；（3）或.

【解析】

（1）設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為：，根據(jù)可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得的值，進(jìn)而得出的“友好拋物線”；

（2）先求出拋物線和的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過的頂點(diǎn)，得出，進(jìn)而得到拋物線經(jīng)過的頂點(diǎn)，再根據(jù)與的開口大小相同，方向相反，即可得出拋物線也是的“友好拋物線”；

（3）根據(jù)“友好拋物線”的定義，得到，進(jìn)而得到的頂點(diǎn)為．

根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，可得．

再根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)，得到．根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)，得到．

進(jìn)而得出拋物線與線段沒有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍．

解：（1）依題意，可設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為：，

∵，

∴的頂點(diǎn)為．

∵過點(diǎn)，

∴，即．

∴的“友好拋物線”為：．

（2）的頂點(diǎn)為，

的頂點(diǎn)為，

∵為的“友好拋物線”，

∴．

∵過的頂點(diǎn)，

∴．

化簡(jiǎn)得：．

把代入，得

．

∴拋物線經(jīng)過的頂點(diǎn)．

又∵與的開口大小相同，方向相反，

∴拋物線也是的“友好拋物線”．

（3）∵拋物線為的“友好拋物線”，

∴．

∴的頂點(diǎn)為．

∵拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，

∴，即．

當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，

∴．

當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，

∴．

由此可知：時(shí)，拋物線與線段有公共點(diǎn)，

∴拋物線與線段沒有公共點(diǎn)時(shí)，或．