Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、E在

AB

上，DE⊥AB于D，AC與DE交于點(diǎn)M，連接AE，AM=EM，
（1）求證：點(diǎn)E是

AC

的中點(diǎn)；
（2）判斷OD和BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)ED交⊙O于點(diǎn)F，由DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，根據(jù)垂徑定理可得AE=AF，由AM=EM，得出∠MAE=∠MEA，那么AF=CE，等量代換得到AE=CE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得出點(diǎn)E是

AC

的中點(diǎn)；
（2）連接OE，交AC于H，由垂徑定理的推論得出OH⊥AC，點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得到OH=

1

2

BC．由OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，那么∠OAH=∠OED，利用AAS證明△OAH≌△OED，得出OD=OH，等量代換得到OD=

1

2

BC．

解答：（1）證明：如圖，延長(zhǎng)ED交⊙O于點(diǎn)F，
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴AE=AF．
∵AM=EM，
∴∠MAE=∠MEA，
∴AF=CE，
∴AE=CE，
即點(diǎn)E是

AC

的中點(diǎn)；

（2）解：OD=

1

2

BC．理由如下：
連接OE，交AC于H，
∵點(diǎn)E是

AC

的中點(diǎn)，
∴OH⊥AC，點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，
∴OH=

1

2

BC．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAH=∠OED．
在△OAH與△OED中，

∠OAH=∠OED ∠OHA=∠ODE OA=OE

，
∴△OAH≌△OED（AAS），
∴OD=OH，
∴OD=

1

2

BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．