【題目】如圖,已知:在Rt△ABC中,斜邊AB=10,sinA= ,點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),PQ平分∠CPB交邊BC于點(diǎn)Q,QM⊥AB于M,QN⊥CP于N.

(1)當(dāng)AP=CP時(shí),求QP;
(2)若四邊形PMQN為菱形,求CQ;
(3)探究:AP為何值時(shí),四邊形PMQN與△BPQ的面積相等?

【答案】
(1)

解:∵AB=10,sinA= ,

∴BC=8,

則AC= =6,

∵PA=PC.

∴∠PAC=∠PCA,

∵PQ平分∠CPB,

∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A,

∴∠BPQ=∠A,

∴PQ∥AC,

∴PQ⊥BC,又PQ平分∠CPB,

∴∠PCQ=∠PBQ,

∴PB=PC,

∴P是AB的中點(diǎn),

∴PQ= AC=3;


(2)

解:∵四邊形PMQN為菱形,

∴MQ∥PC,

∴∠APC=90°,

×AB×CP= ×AC×BC,

則PC=4.8,

由勾股定理得,PB=6.4,

∵M(jìn)Q∥PC,

= = = ,即 = ,

解得,CQ=


(3)

解:∵PQ平分∠CPB,QM⊥AB,QN⊥CP,

∴QM=QN,PM=PN,

∴SPMQ=SPNQ

∵四邊形PMQN與△BPQ的面積相等,

∴PB=2PM,

∴QM是線段PB的垂直平分線,

∴∠B=∠BPQ,

∴∠B=∠CPQ,

∴△CPQ∽△CBP,

= = ,

= ,

∴CP=4× =4× =5,

∴CQ= ,

∴BQ=8﹣ =

∴BM= × =

∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM=


【解析】(1)根據(jù)正弦的概念求出BC,根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MQ∥PC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,計(jì)算即可;(3)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到QM=QN,PM=PN,根據(jù)題意得到PB=2PM,得到QM是線段PB的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定定理解答.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 定理2:一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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拓展應(yīng)用:如圖,在ABC中,AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E、F在線段AD上,1=2=BAC.若ABC的面積為15,則ACF與BDE的面積之和為 .(12分)

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C.3個(gè)
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(2)求直線CD的解析式;

(3)y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得SPAB=,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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