Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時將點(diǎn)A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABDC；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，使S△PAB=S四邊形ABDC？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；

（3）點(diǎn)P是直線BD上一個動點(diǎn)，連接PC、PO ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動時，請直接寫出∠OPC與∠PCD、∠POB的數(shù)量關(guān)系

Answer 1

【答案】（1）C（0，2），D（4，2），S四邊形ABDC=8；（2）存在，P（0，4）或（0，﹣4）；（3）點(diǎn)p在線段BD上，∠OPC=∠PCD+∠POB；點(diǎn)P在BD延長線上，∠OPC=∠POB-∠PCD;點(diǎn)P在DB延長線上運(yùn)動時，∠OPC=∠PCD-∠POB.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2）；四邊形ABDC的面積=2×（3+1）=8；
（2）存在．設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，則S△PAB= ×AB×h，根據(jù)S△PAB=S四邊形ABDC，列方程求h的值，確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，作PM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)由MP∥AB得∠2=∠POB，由CD∥AB得到CD∥MF，則∠1=∠PCD，所以∠OPC=∠POB+∠PCD；同樣得到當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長線上，∠OPC=∠PCD-∠POB；當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．

（1）依題意，得C（0，2），D（4，2），
∴S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8；
（2）在y軸上是存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S四邊形ABDC．理由如下：
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，
S△PAB=×AB×h=2h，
由S△PAB=S四邊形ABDC，得2h=8，
解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，作PM∥AB，如圖1，
∵MP∥AB，
∴∠2=∠POB，
∵CD∥AB，

∴CD∥MP，
∴∠1=∠PCD，
∴∠OPC=∠1+∠2=∠POB+∠PCD；
當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長線上，作PN∥AB，如圖2，
∵PN∥AB，
∴∠NPO=∠POB，
∵CD∥AB，
∴CD∥PN，
∴∠NPC=∠FCD，
∴∠OPC=∠NPC-∠NPO=∠FCD-∠POB；
同樣得到當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．