Question

【題目】如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連AP、BP，過(guò)點(diǎn)C作CM//BP交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

（1）求∠APC和∠BPC的度數(shù)

（2）探究PA、PB、PM之間的關(guān)系

（3）若PA=1，PB=2，求四邊形PBCM的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠APC=60°；∠BPC=60°；（2）PM= PA＋PB；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓周角相等即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MCP=∠BPC=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定可得△CPM為等邊三角形，再利用SAS證出△BCP≌△ACM，即可得出PB=AM，從而得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MP于D，根據(jù)（2）的結(jié)論和等邊三角形的性質(zhì)求出AM和CD，利用三角形的面積公式即可求出S△CAM和S△CAP，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得S△BCP= S△ACM，最后根據(jù)S四邊形PBCM = S△CAM＋S△CAP＋S△BCP即可得出結(jié)論．

解：（1）∵△ABC為等邊三角形

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC

∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）PM= PA＋PB，理由如下

∵CM∥BP

∴∠MCP=∠BPC=60°

∴∠M=180°－∠MPC－∠MCP=60°

∴△CPM為等邊三角形

∴CP=CM，∠PCM=60°

∵∠ACB=60°

∴∠ACB=∠PCM

∴∠BCP=∠ACM

在△BCP和△ACM中

∴△BCP≌△ACM

∴PB=AM

∴PM=PA＋AM=PA＋PB

（3）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MP于D

∵PA=1，PB=2，

∴PM=PA＋PB=3，AM=PB=2

∵△CPM為等邊三角形

∴CM=CP=PM=3，

∵CD⊥MP

∴MD==

根據(jù)勾股定理可得CD=

∴S△CAM=

S△CAP=

∵△BCP≌△ACM

∴S△BCP= S△ACM

∴S四邊形PBCM = S△CAM＋S△CAP＋S△BCP