【題目】如圖,在中,,以AB為直徑的圓交AC于點D,E是BC的中點,連接DE.
(1)求證:DE是的切線;
(2)設的半徑為r,證明;
(3)若,求AD之長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)由E為BC的中點,O為AB的中點,得到OE是△ABC的中位線,進而得到OE∥AC.再由平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可證∠1=∠2,即可得到△ODE≌△OBE,根據(jù)全等三角形對應角相等即可得到結論;
(2)證明△ADB∽△OBE,由相似三角形對應邊成比例即可得到結論;
(3)根據(jù)切線長定理得到BE=DE=4.
由OE∥AC,得到∠4=∠C,則,解直角三角形OBE可得OB,OE的長,代入(2)中結論,即可得出AD的長.
(1)∵AB⊥BC,∴∠OBC=90°.
∵E為BC的中點,O為AB的中點,
,
∴∠1=∠ODA,∠2=∠A.
∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,∴∠1=∠2.
∵OD=OB,∠1=∠2,OE=OE,
∴△ODE≌△OBE,
∴∠ODE=∠OBE=90°,
∴DE為的切線;
(2)∵∠2=∠A,,
,
,
,
因此,;
(3)∵DE、BE是⊙O的切線,∴BE=DE=4.
又∵,
,
,
∴.
設OB=3x,則OE=5x,BE=4x.
∵BE=4,∴x=1,∴OB=3,OE=5.
又由(2)得:,
即:,
.
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【題目】如圖①,已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C,以OA、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC.
(1)求點A、C的坐標;
(2)將△ABC對折,使得點A的與點C重合,折痕交AB于點D,求直線CD的解析式(圖②);
(3)在坐標平面內(nèi),是否存在點P(除點B外),使得△APC與△ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知點M,N的坐標分別為(﹣1,2),(2,1),若拋物線y=ax2﹣x+2(a≠0)與線段MN有兩個不同的交點,則a的取值范圍是( 。
A. a≤﹣1或≤a< B. ≤a<
C. a≤或a> D. a≤﹣1或a≥
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【題目】如圖,等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,P是上任意一點(不與點A、B重合),連AP、BP,過點C作CM//BP交PA的延長線于點M.
(1)求∠APC和∠BPC的度數(shù)
(2)探究PA、PB、PM之間的關系
(3)若PA=1,PB=2,求四邊形PBCM的面積.
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【題目】如圖,△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,連接DE.
(1)求證:△BDE≌△BCE;
(2)試判斷四邊形ABED的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,一款落地燈的燈柱AB垂直于水平地面MN,高度為1.6米,支架部分的形為開口向下的拋物線,其頂點C距燈柱AB的水平距離為0.8米,距地面的高度為2.4 米,燈罩頂端D距燈柱AB的水平距離為1.4米,則燈罩頂端D距地面的高度為______米.
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【題目】在矩形ABCD中,AB=6,AD=9,點E為線段AD上一點,且DE=2AE,點G是線段AB上的動點,EF⊥EG交BC所在直線于點F,連接GF.則GF的最小值是( )
A.3B.6C.6D.3
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【題目】一家蔬菜公司計劃到某綠色蔬菜基地收購A,B兩種蔬菜共140噸,預計兩種蔬菜銷售后獲利的情況如下表所示:
銷售品種 | A種蔬菜 | B種蔬菜 |
每噸獲利(元) | 1200 | 1000 |
其中A種蔬菜的5%,B種蔬菜的3%須運往C市場銷售,但C市場的銷售總量不超過5.8噸.設銷售利潤為W元(不計損耗),購進A種蔬菜x噸.
(1)求W與x之間的函數(shù)關系式;
(2)將這140噸蔬菜全部銷售完,最多可獲得多少利潤?
(3)由于受市場因素影響,公司進貨時調(diào)查發(fā)現(xiàn),A種蔬菜每噸可多獲利100元,B種蔬菜每噸可多獲利m(200<m<400)元,但B種蔬菜銷售數(shù)量不超過90噸.公司設計了一種獲利最大的進貨方案,銷售完后可獲利179000元,求m的值.
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