Question

科學(xué)研究表明，合理安排各學(xué)科的課外學(xué)習(xí)時(shí)間，可以有效的提高學(xué)習(xí)的效率．教育專家們通過對(duì)九年級(jí)學(xué)生的課外學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)習(xí)收益情況進(jìn)行進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，九年級(jí)學(xué)生每天課外用于非數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)時(shí)間t（小時(shí)）與學(xué)習(xí)收益量y₁的函數(shù)關(guān)系是圖①中的一條折線；每天用于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)時(shí)間t（小時(shí)）與學(xué)習(xí)收益量y₂的函數(shù)關(guān)系如圖②所示：圖象中OA是頂點(diǎn)為A的拋物線的一部分，AB是射線．

（1）求出y₁與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量t的取值范圍；
（2）求出y₂與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量t的取值范圍；
（3）如果九年級(jí)學(xué)生每天課外學(xué)習(xí)的時(shí)間為2小時(shí)，學(xué)習(xí)的總收益量為W（W=y₁+y₂），請(qǐng)問應(yīng)如何安排學(xué)習(xí)時(shí)間才能使學(xué)習(xí)的總收益量最大？

Answer 1

分析：（1）由圖以及t的取值范圍，設(shè)直線解析式為y=kx以及y=ax+b利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用分段函數(shù)的知識(shí)，需要注意的是x的取值范圍依照分段函數(shù)的解法求拋物線解析式和直線解析式解出即可；
（3）根據(jù)W=y₁+y₂，分別根據(jù)二次函數(shù)最值求法以及t的取值范圍求出即可．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t≤1.5時(shí)，設(shè)y₁=at，則45=1.5a，
解得：a=30，
∴y₁=30t，
當(dāng)1.5≤t時(shí)，設(shè)y₁=bt+c，則

1.5b+c=45 2b+c=55

，
解得：

b=20 c=15

∴y₁=20t+15，
故y₁=

30t(0≤t≤1.5) 20t+15(t≥1.5)

；

（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，由圖象可得出，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，90），且過點(diǎn)（0，0），
設(shè)y₂=a（t-1）²+90，
將（0，0）代入得出：a=-90，
∴y₂=-90（t-1）²+90=-90t²+180t，
當(dāng)1≤t時(shí)，設(shè)y₂=kt+d，則

k+d=90 2k+d=100

，
解得：

k=10 d=80

，
∴y₂=10t+80，
故y₂=

-90t2+180t(0≤t≤1) 10t+80(t≥1)

；

（3）設(shè)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間為t，根據(jù)題意得：
①當(dāng)0≤t≤0.5時(shí)：w=20（2-t）+15-90t²+180t=-90（t-

8

9

）²+126

1

9

，當(dāng)t=0.5時(shí)，w_最大=112.5，
②當(dāng)0.5≤t≤1時(shí)：w=30（2-t）+-90t²+180t=-90（t-

5

6

）²+122.5，當(dāng)t=

5

6

時(shí)，w_最大=122.5，
③當(dāng)1≤t≤2時(shí)：w=30（2-t）+10t+80=-20t+140，當(dāng)t=1時(shí)，w_最大=120．
綜上所得，應(yīng)安排

5

6

小時(shí)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，

7

6

小時(shí)用于非數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，才能使學(xué)習(xí)的總收益量最大．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)定義、性質(zhì)以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用等，利用自變量的取值范圍進(jìn)行分段討論得出是解題關(guān)鍵．