Question

如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，求證：CF+BE=CD；
（提示：過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M．）
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；
（3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S_△ABC=4

3

，則BE=

 

，CD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）通過△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因為通過證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD；
（2）作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得△MEF≌△CDA即可求得，
（3）根據(jù)△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖②CD=4圖③CD=8，

解答：（1）證明：如圖①，過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M，

∵CF∥AB，
∴四邊形BMFC是平行四邊形，
∴BC=MF，CF=BM，
∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC，
∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF與△CDA中，

∠MFE=∠DAC ∠EMF=∠ACB MF=BC

，
∴△MEF≌△CDA（AAS），
∴CD=ME=EB+BM，
∴CD=BE+CF．

（2）如圖②，CF+CD=BE，如圖③，CF-CD=BE；

（3）∵△ABC是等邊三角形，S_△ABC=4

3

，
∴易得AB=BC=AC=4，
如圖②，
∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，
∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由（2）知BE=CF+CD，
∴BE=4+4=8．

如圖③，
∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，
綜上，BE=8，CD=4或8．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等．