已知∠MON=60°,射線OT是∠MON的平分線,點(diǎn)P是射線OT上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),射線PB交射線ON于點(diǎn)B.
(1)如圖,若射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與射線OM交于A,求證:PA=PB;
(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn),且滿足PC=PB,求:△POB與△PBC的面積之比;
(3)當(dāng)OB=2時(shí),射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與直線OM交于點(diǎn)A(點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合),直線PA交射線ON于點(diǎn)D,且滿足∠PBD=∠ABO.請(qǐng)求出OP的長.

【答案】分析:(1)可以把求證PA=PB的問題轉(zhuǎn)化為證明△PAF≌△PBG即可;
(2)首先證明△POB∽△PBC,利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方即可求解;
(3)分點(diǎn)A在射線OM上,點(diǎn)A在射線OM的反向延長線上兩種情況進(jìn)行討論,作OT的垂線,利用三角函數(shù)即可求解.
解答:(1)證明:作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,(1分)
∵OP平分∠MON,
∴PF=PG,(2分)
∵∠MON=60°,
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,(3分)
又∵∠APB=120°,
∴∠APF=∠BPG,
∴△PAF≌△PBG,(4分)
∴PA=PB;(5分)

(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,
∴∠PAB=∠PBA=30°,(6分)
∵∠MON=60°,OP平分∠MON,
∴∠TON=30°,(7分)
∴∠POB=∠PBC,(8分)
又∠BPO=∠OPB,
∴△POB∽△PBC,(9分)
,
∴△POB與△PBC的面積之比為4:3;(10分)

(3)①當(dāng)點(diǎn)A在射線OM上時(shí)(如圖乙1),
,
易求得:∠BPD=∠BOA=60°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=75°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=OE+PE=+1,(12分)
②當(dāng)點(diǎn)A在射線OM的反向延長線上時(shí)(如圖乙2),
,
此時(shí)∠AOB=∠DPB=120°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=15°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,
∴OP=-1,(14分)
∴綜上所述,當(dāng)OB=2時(shí),
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了全等三角形的判定,相似三角形的性質(zhì),以及三角函數(shù),正確作輔助線,轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算,以及正確進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知∠MON=60°,射線OT是∠MON的平分線,點(diǎn)P是射線OT上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),射線PB交射線ON于點(diǎn)B.
(1)如圖,若射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與射線OM交于A,求證:PA=PB;
(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn),且滿足PC=
3
2
PB,求:△POB與△PBC的面積之比;
(3)當(dāng)OB=2時(shí),射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與直線OM交于點(diǎn)A(點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合),直線PA交射線ON于點(diǎn)D,且滿足∠PBD=∠ABO.請(qǐng)求出OP的長.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知∠MON=60°,A是射線OM上的點(diǎn),OA=8.
(1)在圖中作出點(diǎn)C,使得C是∠MON平分線上的點(diǎn),且AC=OA;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫出作法、證明和討論)
(2)求OC的長?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知∠MON=60°,P是∠MON內(nèi)一點(diǎn),它到角的兩邊的距離分別為2和11,求OP的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知∠MON=60°,P是∠MON內(nèi)一點(diǎn),它到角的兩邊的距離分別為2和11,求OP的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2002年廣東省湛江市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2002•湛江)如圖,已知∠MON=60°,A是射線OM上的點(diǎn),OA=8.
(1)在圖中作出點(diǎn)C,使得C是∠MON平分線上的點(diǎn),且AC=OA;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫出作法、證明和討論)
(2)求OC的長?

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