Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為點E．
（1）線段AD與CE是否垂直？說明理由；
（2）若AB=10，AC=6，求△BDE的周長．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用條件證明△AED≌△ACD，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可證明結(jié)論；
（2）可求得BC的長，再利用（1）的結(jié)論可求得BE，且DE=DC，可求得BD+BE+DE．

解答：解：
（1）垂直，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACB=90°，
在△AED和△ACD中

∠EAD=∠CAD ∠DEA=∠DCA AD=AD

∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE；
（2）∵AB=10，AC=6，
∴在△ABC中由勾股定理可求得BC=8，
∵AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
又△△AED≌△ACD，
∴DC=DE，
∴BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=4+8=12，
即△BDE的周長為12．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等和等腰三角形底邊上的中線、高線和頂角的平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．