Question

如圖1．△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，BE、CF交于M，連MA．
（1）若∠BAC=60゜，則①△BAE≌△CAF；②∠CMB=60゜．
（2）求證：AM平分∠BMF．
（3）如圖2，若∠BAC=α，直接寫(xiě)出∠AME=

90゜+

1

2

α．

用含α的式子表示）

Answer 1

分析：（1）①求出∠EAB=∠FAC，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；②根據(jù)全等得出∠FCA=∠EBA，在△CMB中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠CMB=180°-（∠MCA+∠ACB+∠CBM）=∠BAC，代入求出即可；
（2）過(guò)A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形面積求出AQ=AH，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；
（3）根據(jù)（1）（2）得出∠CMB=∠BAC=α，∠BMA=∠AMF，即可求出答案．

解答：（1）①解：∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
∴∠EAB=∠FAC，
在△BAE和△CAF中

AB=AC ∠EAB=∠FAC AE=AF

∴△BAE≌△CAF（SAS）．

②解：∵△BAE≌△CAF，
∴∠FCA=∠EBA，
∵在△CMB中，∠CMB=180°-（∠MCA+∠ACB+∠CBM）
=180°-（EBA+∠ACB+∠CBM）
=180°-（∠ACB+∠ABC）
=180°-（180°-∠BAC）
=∠BAC
=60°，
∴∠CMB=60°．

（2）證明：如圖1，過(guò)A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，
∵△BAE≌△CAF，
∴△BAE的面積=△CAF的面積，CF=BE，
∴

1

2

CF×AH=

1

2

BE×AQ，
∴AH=AQ，
∵AQ⊥BE，AH⊥CF，
∴AM平分∠BMF．

（3）解：∠AME=90°+

1

2

α，
理由是：∵∠CMB=∠BAC=α，AM平分∠BMF，
∴∠EMF=∠CMB=α，∠AMF=∠BMA=

1

2

∠BMF=

1

2

（180°-∠CMB）=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α，
∴∠AME=∠AMF+∠EMF=90°-

1

2

α+α=90°+

1

2

α．
故答案為：90°+

1

2

α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定的難度．