Question

（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC 的頂點坐標(biāo)分別為A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．

（1）請用尺規(guī)作出△ABC的外接圓⊙P（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求出（1）中外接圓圓心P的坐標(biāo)；

（3）⊙P上是否存在一點Q，使得△QBC與△AOC相似？如果存在，請求出點Q 坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由

 

Answer 1

（1）作圖詳見解析（2）點P坐標(biāo)為（1，－1）；（3）（－2，－2），（2，－4）

【解析】

試題分析：（1）如圖1所示：

（2）如圖2，過點P做PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，連接PC、PE．

∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．

∵OB=4，∴OD=OB﹣BD=1．

∴PE=OD=1．

設(shè)DP=x，則OE=PD=x．

在Rt△BPD中，BP2=x2+32．

在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12．

∵BP=CP，

∴x2+32=（x+2）2+12．

解得：x=1．

∴點P坐標(biāo)為（1，﹣1）．

（3）如圖2，連接BP并延長到⊙P于一點Q1，連接CQ1，

則BQ1是直徑，

∴∠Q1CB=90°，

又∵∠CAB=∠CQ1B，

∴△Q1BC∽△ACO，

此時連接AQ1則∠Q1AB=90°，

∴Q1橫坐標(biāo)為：﹣2，

∵AB=6，BQ1=2BP=2，

∴AQ1=2，

∴Q1（﹣2，﹣2），

同理構(gòu)造直角三角形CFQ2，

可得出：CF=6，CQ2=2，

∴FQ2=2，F(xiàn)O=4，

則Q2（2，﹣4），

綜上所述：⊙P上存在一點Q（﹣2，﹣2），（2，﹣4），使得△QBC與△AOC相似．

考點:圓的綜合題