Question

16．某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共10件，其生產(chǎn)成本和利潤如表：

	A種產(chǎn)品	B種產(chǎn)品
成本（萬元/件）	2	5
利潤（萬元/件）	1	3

（1）若工廠計(jì)劃獲利14萬元，問A、B兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件？
（2）若工廠計(jì)劃投入資金不多于44萬元，且獲利多于20萬元，問工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？
（3）在（2）的條件下，哪種生產(chǎn)方案獲利最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)x件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10-x）件，列出方程即可解決．
（2）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)m件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10-m）件，列出不等式組解決問題．
（3）得出利潤y與A產(chǎn)品數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)增減性可得，B產(chǎn)品生產(chǎn)越多，獲利越大，因而B取最大值時(shí)，獲利最大，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)x件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10-x）件，
由題意，x+3（10-x）=14，
解得x=8，
∴10-x=2，
∴A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)8件，B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)2件．   
     
（2）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)m件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10-m）件，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{2m+5（10-m）≤44}\\{m+3（10-m）＞20}\end{array}\right.$，
解這個(gè)不等式組，得2≤m＜5，
∵m為正整數(shù)，m可以取2或3或4；
∴生產(chǎn)方案有3種：
①生產(chǎn)A種產(chǎn)品2件，B種產(chǎn)品8件；
②生產(chǎn)A種產(chǎn)品3件，B種產(chǎn)品7件．
③生產(chǎn)A種產(chǎn)品4件，B種產(chǎn)品6件．

（3）設(shè)總利潤為y萬元，生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（10-x）件，
則利潤y=x+3（10-x）=-2x+30，
則y隨x的增大而減小，即可得，A產(chǎn)品生產(chǎn)越少，獲利越大，
所以當(dāng)生產(chǎn)A種產(chǎn)品2件，B種產(chǎn)品8件時(shí)可獲得最大利潤，其最大利潤為2×1+8×3=26（萬元）．

點(diǎn)評 本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程或不等式解決問題，屬于中考常考題型．