Question

【題目】如圖，二次函數(shù)與x軸、分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連接CA、CB．

（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo) ；∠BCO= °;

（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ；

（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙O，點(diǎn)F為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，值最小，則最小值是 ；

（4）點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D使∠BCD=∠CAO－∠ACO，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1,4）；45°；（2）（1,2）；（3） ；（4）D的坐標(biāo)為（）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)公式計(jì)算出頂點(diǎn)和C,B即可；

（2）做C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接A點(diǎn)和C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，交l的點(diǎn)即為P,此時(shí)PA+PC的值最小.

（3）圓O與y軸的交點(diǎn)為G，連接BG，BG與l的交點(diǎn)即要求的F點(diǎn)，此為胡不歸模型.

（4）作AC的垂直平分線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)N，連接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC.連接CM.得M的坐標(biāo).求出直線(xiàn)CM的解析式，根據(jù)D為直線(xiàn)CM與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，得點(diǎn)D的坐標(biāo).

（1）（1,4）；45°

∵二次函數(shù)

∴y=-（x-1）2+4

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1,4）

∵C(O,3),B(3,0）

∴CO=BO

∴∠BCO=45°

（2）（1,2）

作C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接AE，交l的點(diǎn)即為P,此時(shí)PA+PC的值最小

∵A,E關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，C(O,3)

∴E(2,3)

∴AE為y=x+1

∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上

∴P(1,2)

（3）圓O與y軸的交點(diǎn)為G，連接BG，BG與l的交點(diǎn)即要求的F點(diǎn)，此為胡不歸模型.求得最小值為.

（4）作AC的垂直平分線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)N，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），連接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC.連接CM.則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7,4）.直線(xiàn)CM的解析式為，，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）.

由題意可知A(-1,0），C(0,3）

作AC的垂直平分線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)N

∴該垂直平分線(xiàn)為y= -x+

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）

連接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC，連接CM

CN=MN=5且CN⊥NM

∴M的坐標(biāo)為（7,4）

可得直線(xiàn)CM的解析式為

∵根據(jù)D為直線(xiàn)CM與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)

∴

∴D的坐標(biāo)為（）

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