Question

【題目】如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為頂點(diǎn)作正方形EFGH．

（1）如圖1，點(diǎn)A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF，直接寫出BH和AF的數(shù)量關(guān)系；

（2）將正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

①如圖2，判斷BH和AF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形；如果四方形ABCD的邊長(zhǎng)為，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①BH=AF，理由見解析，②正方形EFGH的邊長(zhǎng)為．

【解析】（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；

（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AE=BE，∠BEA=90°，EF=EH，∠HEF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②如備用圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AH∥BD，AH=BD，于是得到∠EAH=∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，

∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH，

在△BEH和△AEF中，

∵，∴△BEH≌△AEF（SAS），∴BH=AF；

（2）①BH=AF，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=BE，∠BEA=90°，

∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH，∠HEF=90°，∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，

即∠BEH=∠AEF，

在△BEH與△AEF中，∵，∴△BEH≌△AEF，∴BH=AF；

②如備用圖．∵四邊形ABDH是平行四邊形，∴AH∥BD，AH=BD，∴∠EAH=∠AEB=90°，

∵四方形ABCD的邊長(zhǎng)為，∴AE=BE=CE=DE=1，

∴EH===，

∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為．