Question

【題目】已知：點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，求證：OE=OF

(2)直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn),當(dāng)∠OFE=時(shí)，有OE=OF，如圖2，線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出證明。

(3)當(dāng)點(diǎn)P在圖3位置,且∠OFE=時(shí)，線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)論，無(wú)需證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）CF=OE-AE.

【解析】

（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．

（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問(wèn)題．

（3）圖3中的結(jié)論為：CF=OE-AE，延長(zhǎng)EO交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明方法類似．

（1）∵重合

∴

∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為對(duì)角線交點(diǎn)

∴AO=CO，

在△AEO和△CFO中，

∴△AEO△CFO（AAS）

∴OE=OF

（2）延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G，如圖所示，

則可得

∵

∴AE∥CF

∴

又∵O 為對(duì)角線交點(diǎn)

∴AO=CO

在△AEO和△CGO中，

∴△AEO△CGO（ASA）

∴OE=OG，AE=CG

在Rt△EFG中，OE=OG，

∴點(diǎn)O為Rt△EFG斜邊EG的中點(diǎn)，

故OF=OE=OG=

∴∠OFE=∠OEF=30°

∴∠OFG=∠EFG∠OFE=90°30°=60°

又∵OF=OG

∴△OFG為等邊三角形

故GF=OF=OE

∵CF=CG+GF

∴CF=CG+GF =AE+OE

（3）延長(zhǎng)EO、FC交于點(diǎn)G，如圖所示，

∵

∴AE∥CF

∴

又∵O 為對(duì)角線交點(diǎn)

∴AO=CO

在△AEO和△CGO中，

∴△AEO△CGO（AAS）

∴OE=OG，AE=CG

在Rt△EFG中，OE=OG，

故點(diǎn)O為Rt三角形EFG斜邊EG的中點(diǎn)，

∴OF=OE=OG=

∵∠OEF=30°

∴∠OFE=∠OEF=30°

即∠OFG=∠EFG-∠EFO=90°30°=60°

又∵OF=OG

∴△OFG為等邊三角形

∴GF=OF=OG=OE

∵CF=GF-CG

∴CF=OE-AE