Question

 問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個用足夠長的的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn)。

問題探究：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，

①如圖2，當(dāng)AD＝BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

②如圖3，當(dāng)AD＝2BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)AD＝nBD時，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為_______________（直接寫出結(jié)論，不必證明）

（2）當(dāng)AD＝BD時，若AB＝20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由。

                圖1                 圖2                     圖3

Answer 1

（1）①DP＝DQ            

理由：連接CD，

，△ABC是等腰直角三角形，

，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，

∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，

                

②。            

理由：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分別為M、N，

∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ，

∴△DPM∽△DQN，。

∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，

∴△AMD∽△BND，。

，

。                    

③。                    

（2）存在，設(shè)，由（1）①知，

，

當(dāng)DP⊥AC時，x最小，最小值是，此時，S有最小值，

                  

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，x最大，最大值是10，此時，S有最大值，