Question

（本題滿分8分）如圖所示，AC⊥AB，，AC=2，點D是以AB為直徑的半圓O 上一動點，DE⊥CD交直線AB于點E，設(shè)．

（1）當(dāng)時，求弧BD的長；

（2）當(dāng)時，求線段BE的長；

（3）若要使點E在線段BA的延長線上，則的取值范圍是________ _.（直接寫出答案）

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）＜＜．

【解析】

試題分析：（1）首先連接OD，由圓周角定理，可求得∠DOB的度數(shù)，又由⊙O的直徑為，即可求得其半徑，然后由弧長公式，即可求得答案；

（2）首先證得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得，繼而求得答案；

（3）首先求得A與E重合時α的度數(shù)，則可求得點E在線段BA的延長線上時，α的取值范圍．

試題解析：（1）連接OD，在⊙O中，∵∠DAB=18°，∴∠DOB=2∠DAB=36°．

又∵AB=，∴；

（2）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵∠DAB=90°，AB=，

∴BD=，AD=3．

又∵AC⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∴∠CAD+∠DAB=90°，

又∵∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，

又∵DE⊥CD，∴∠CDE=90°，∴∠CDA+∠ADE=90°，

又∵∠ADE+∠EDB=90°，∴∠CDA=∠EDB，∴△CDA∽△EDB，

∴，又∵AC=2， ∴，∴；

（3）如圖，當(dāng)E與A重合時，

∵AB是直徑，AD⊥CD，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴C，D，B共線，

∵AC⊥AB，∴在Rt△ABC中，，AC=2，∴tan∠ABC=，∴∠ABC=30°，

∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，

當(dāng)E′在BA的延長線上時，如圖，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，

∵0°＜α＜90°，∴α的取值范圍是：60°＜α＜90°．

故答案為：60°＜α＜90°．

考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．圓周角定理；3．弧長的計算．