Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線交于點O，MN過點O分別與AD相交于點M，與BC相交于點N，且MN=2NC，MN⊥BD．
求證：MN=BN．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先連接MB，然后證明△AMO≌△CNO，進(jìn)而可得MO=NO，再根據(jù)條件MN=2NC可得CN=ON=OM=AM，再證明Rt△ABM≌Rt△OBM可得∠ABM=∠OBM，進(jìn)而可得∠OBM=∠OBN=∠ABM=90°÷3=30°，然后再證明△BMN為等邊三角形，從而可得結(jié)論．

解答：證明：連接BM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD‖BC，AO=CO，BO=DO，
∴∠MAO=∠NCO
在△AMO和△CNO中，

∠MAO=∠NCO AO=CO ∠AOM=∠CON

，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴MO=NO，
∵M(jìn)N=2NC，
∴CN=ON=OM=AM，
∵M(jìn)N⊥BD，
∴∠MOB=90°，
在Rt△ABM和Rt△OBM中，

AM=MO BM=BM

，
∴Rt△ABM≌Rt△OBM（HL），
∴∠ABM=∠OBM，
又∵M(jìn)N⊥BD，MO=NO，
∴BM=BN，
∴∠OBM=∠OBN=∠ABM=90°÷3=30°，
∴∠NMB=90°-∠OBM=60°=∠NBM，
∴△BMN為等邊三角形，
∴BN=MN．

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，關(guān)鍵是正確證明出∠OBM=∠OBN=∠ABM=30°．