Question

已知M、N為雙曲線y=

4

x

（x＞0）上的兩點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為a、a+2，分別過M、N作y軸、x軸的垂線，相交于點(diǎn)B，垂足分別為點(diǎn)C、A，連接OM、ON、MN，把△OMN的面積與△BMN的面積分別記為S_△OMN、S_△BMN．
（1）若矩形OABC的面積為12，求a的值，并求出此時的S_△OMN：S_△BMN；
（2）隨著a的取值不同，M，N兩點(diǎn)不斷運(yùn)動，當(dāng)M為BC邊中點(diǎn)時，a=

 

，此時S_△OMN：S_△BMN=

 

；
（3）結(jié)合（1）、（2）的計算結(jié)果，試猜想S_△OMN：S_△BMN的值（用含a的式子表示），并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,分式的混合運(yùn)算,解分式方程,反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,矩形的性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）由M、N在雙曲線y=

4

x

上，且x_M=a，x_N=a+2，可得y_M=

4

a

，y_N=

4

a+2

，從而得到OC=

4

a

，OA=a+2，由矩形OABC的面積為12即可求出a的值，就可求出線段CM、OC、OA、AN、BN、BM的長，從而求出S_△OMN、S_△BMN的值，進(jìn)而求出S_△OMN：S_△BMN的值．
（2）當(dāng)M為BC邊中點(diǎn)時，易求出a的值，就可求出線段CM、OC、OA、AN、BN、BM的長，從而求出S_△OMN、S_△BMN的值，進(jìn)而求出S_△OMN：S_△BMN的值．
（3）結(jié)合（1）、（2）的計算結(jié)果，可猜想S_△OMN：S_△BMN的值為a+1．先用a的代數(shù)式表示線段CM、OC、OA、AN、BN、BM的長，然后用a的代數(shù)式表示S_△OMN、S_△BMN的值，就可求出S_△OMN：S_△BMN的值．

解答：解：（1）∵M(jìn)、N在雙曲線y=

4

x

上，x_M=a，x_N=a+2，
∴y_M=

4

a

，y_N=

4

a+2

．
∴CM=a，OC=

4

a

，OA=a+2，AN=

4

a+2

．
∵S_矩形OABC=OA•OC=12，
∴（a+2）•

4

a

=12．
解得：a=1．
經(jīng)檢驗(yàn)：a=1是方程的解．
∴a的值為1．
∴CM=1，OC=4，OA=3，AN=

4

3

．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=4，BC=OA=3．
∴BM=2，BN=

8

3

．
∴S_△BMN=

1

2

BM•BN=

1

2

×2×

8

3

=

8

3

．
∵S_△OCM=

1

2

CM•OC=

1

2

×1×4=2，
S_△OAN=

1

2

OA•AN=

1

2

×3×

4

3

=2，
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△BMN-S_△OCM-S_△OAN
=12-

8

3

-2-2=

16

3

．
∴S_△OMN：S_△BMN=

16

3

：

8

3

=2．

（2）當(dāng)M為BC邊中點(diǎn)時，CM=BM．
∴a=a+2-a=2．
∴CM=2，OC=2，OA=4，AN=1．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=2，BC=OA=4．
∴BM=2，BN=1．
∴S_△BMN=

1

2

BM•BN=

1

2

×2×1=1．
∵S_△OCM=

1

2

CM•OC=

1

2

×2×2=2，
S_△OAN=

1

2

OA•AN=

1

2

×4×1=2，
S_矩形OABC=OA•OC=4×2=8，
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△BMN-S_△OCM-S_△OAN
=8-1-2-2=3．
∴S_△OMN：S_△BMN=3：1=3．
故答案為：2、3．

（3）猜想：S_△OMN：S_△BMN的值為a+1．
證明：∵四邊形OABC是矩形，OC=

4

a

，OA=a+2，
∴AB=OC=

4

a

，BC=OA=a+2．
∵CM=a，AN=

4

a+2

，
∴BM=a+2-a=2，BN=

4

a

-

4

a+2

=

8

a(a+2)

．
∴S_△BMN=

1

2

BM•BN=

1

2

×2×

8

a(a+2)

=

8

a(a+2)

．
∵S_△OCM=

1

2

CM•OC=

1

2

×a×

4

a

=2，
S_△OAN=

1

2

OA•AN=

1

2

×（a+2）×

4

a+2

=2，
S_矩形OABC=OA•OC=（a+2）×

4

a

=

4a+8

a

．
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△BMN-S_△OCM-S_△OAN
=

4a+8

a

-

8

a(a+2)

-2-2
=4+

8

a

-

8

a(a+2)

-4
=

8

a

-

8

a(a+2)

=

8a+8

a(a+2)

．
∴S_△OMN：S_△BMN=

8a+8

a(a+2)

：

8

a(a+2)

=a+1．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、分式的運(yùn)算、解分式方程等知識，考查了用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，本題讓學(xué)生經(jīng)歷嘗試、歸納、猜想、證明等科學(xué)探究過程，是一道好題．