【題目】在正方形ABCD中,有一直徑為CD的半圓,圓心為點(diǎn)O,CD=2,現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F,分別從點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)E沿線段AD以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F沿線段CB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)A的時(shí)間為t(s),回答下列問題:

(1)如圖①,根據(jù)下列條件,分別求出t的值.

①EF與半圓相切;

②△EOF是等腰三角形.

(2)如圖②,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn),Q是半圓上一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出PQ+OQ的最小值與最大值.

【答案】(1)①當(dāng)EF與半圓相切時(shí),t的值為1-;②當(dāng)△EOF是等腰三角形時(shí),t的值為或1;(2)1、1+

【解析】

1)①如圖,設(shè)EF與半圓相切于點(diǎn)G,由切線長定理可知ED=EG,F(xiàn)C=FG,在RtEHF中,利用勾股定理列出方程即可解決問題;
分三種情形討論,分別列出方程求解即可;
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在半圓上時(shí),PQ的最小值為0,此時(shí)PQ+OQ的最小值為1.②當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到B時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的結(jié)論最大,當(dāng)QD重合時(shí),PQ+OQ的值最大;

(1)①設(shè)EF與半圓相切于點(diǎn)G,

過點(diǎn)EEHBC,垂足為點(diǎn)H.

∵四邊形ABCD是正方形,

AB=BC=CD=AD=2,A=B=ADC=BCD=90°,

ODAD,且AD經(jīng)過半徑OD的外端點(diǎn)D,

AD與半圓相切于點(diǎn)D,

同理可證:BC與半圓相切于點(diǎn)C,

ED=EG=2-t,CF=FG=2t,

EF=2+t,

EHBC,垂足為點(diǎn)H,∴∠BHE=90°,

∵∠A=B=90°,∴四邊形ABHE是矩形,

EH=AB=2,BH=AE=t,

HF=2-3t,

EHF中,∠EHF=90°,

EH2+HF2=EF2

22+(2-3t)2=(2+t)2,

解這個(gè)方程,得t1=1-<1,t2=1+>1(不合題意,舍去),

∴當(dāng)EF與半圓相切時(shí),t的值為1-

②解:在EDO中,∵∠EDO=90°,OE2=t2-4t+5,

同理可證:OF2=1+4t2, EF2=9t2-12t+8,

第一種情況:當(dāng)OE=OF時(shí),則OE2=OF2,

t2-4t+5=1+4t2

解這個(gè)方程,得t1<1,t2=-2<0(不合題意,舍去),

第二種情況:當(dāng)OE=EF時(shí),則OE2=EF2,

t2-4t+5=9t2-12t+8,此方程無解,

第三種情況:當(dāng)OF=EF時(shí),則OF2=EF2,

1+4t2=9t2-12t+8,

解這個(gè)方程,得t1=1,t2=1.4>1(不合題意,舍去),

綜上所述:當(dāng)EOF是等腰三角形時(shí),t的值為1.

(3)

由題意可知,點(diǎn)P在邊CD的垂直平分線上,當(dāng)運(yùn)動(dòng)開始的時(shí)候點(diǎn)P在圓周上,隨著運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P向做運(yùn)動(dòng)直到停止

當(dāng)P在圓上時(shí),取P、Q為同一點(diǎn),PQ+OQ最小為1,

當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到B時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的結(jié)論最大,當(dāng)QD重合時(shí),PQ+OQ的值最大

=+1=1+

練習(xí)冊(cè)系列答案
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