Question

已知：二次函數(shù)的圖象過(guò)A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是拋物線的頂點(diǎn)，且△ABD是直角三角形，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+k，二次函數(shù)的圖象過(guò)A（1，0），B（k，0），列出二元一次方程組，用k表示出a和b，再根據(jù)△ABD是直角三角形，求出k的值；

解答：解：根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+k，二次函數(shù)的圖象過(guò)A（1，0），B（k，0），
則

a+b+k=0 ak2+bk+k=0

，
解得a=1，b=-k-1；
二次函數(shù)的解析式為y=x²-（k+1）x+k，
當(dāng)k＞1時(shí)，函數(shù)的圖象如圖1，
對(duì)稱軸DE為x=

k+1

2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

k+1

2

，

-(k-1)2

4

），
若△ABD是直角三角形，AD=DB，
則AE=DE，

k+1

2

-1=

(k-1)2

4

，
解得k=3，
當(dāng)k＜0，函數(shù)的圖象如圖2，
同理求出k=-1；
所以D是拋物線的頂點(diǎn)，且△ABD是直角三角形，則k=-1或3；
故答案為-1或3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是畫出圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行解答，此題的難度較大，理解起來(lái)有一定的難度．