Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0）、點(diǎn)C（4，y1），若點(diǎn)D（x2，y2）是拋物線上任意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：①二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值為﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，則0≤y2≤5a；③若y2＞y1， 則x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個(gè)根為﹣1和其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①④B.①②C.②③D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)A、B兩點(diǎn)寫(xiě)出拋物線的交點(diǎn)式化簡(jiǎn)得，再配成頂點(diǎn)式，即可判斷①；當(dāng)x=4時(shí)，y=5a，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷②；利用二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性即可判斷③；由可知b=－2a，c=－3a，則cx2+bx+a=0可化為－3a x2－2a x+a=0，a＞0，解方程即可判斷④．

解：拋物線解析式化成交點(diǎn)式為，

即，

配成頂點(diǎn)式得，

∴當(dāng)x=1時(shí)，二次函數(shù)有最小值為－4a，所以①正確；

當(dāng)x=4時(shí)，，

∴當(dāng)﹣1≤x2≤4，－4a≤y2≤5a，所以②錯(cuò)誤；

∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，5a），C點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為（－2，5a），

∴若y2＞y1，則 x2＞4或x2＜－2，所以③錯(cuò)誤；

由可知b=－2a，c=－3a，則cx2+bx+a=0可化為－3a x2－2a x+a=0，

∵a＞0，

∴方程－3a x2－2a x+a=0整理得： 3a x2+2a x－a=0，

解得，，

所以④正確．

所以①④正確．

故答案選：A．