Question

如圖：已知⊙M經(jīng)過O點(diǎn)，并且⊙M與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，線段OA，OB（OA＞OB）的長是方程x²-17x+60=0的兩根．
（1）求線段OA，OB的長；
（2）已知點(diǎn)C是劣弧OA的中點(diǎn)，連結(jié)BC交OA于D．
①求證：OC²=CD•CB；②求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在⊙M上是否存在一點(diǎn)P，使△POD的面積與△ABD的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）線段OA，OB（OA＞OB）的長是方程x²-17x+60=0的兩根，求出方程的解即可；
（2）點(diǎn)C是劣弧OA的中點(diǎn)，得∠OBC=∠DOC，則△OCB∽△DCO；連接MC，根據(jù)垂徑定理的推論，得MC⊥OA．再進(jìn)一步根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)相似三角形OBD和ECD求出OD的長，那么S_△ABD=S_△POD，可據(jù)此求出三角形POD中OD邊上的高，然后同⊙M中點(diǎn)到x軸的最大距離進(jìn)行比較即可得出P是否在圓上．

解答：解：（1）x²-17x+60=0
（x-12）（x-5）=0
x₁=12，x₂=5，
OA=12，OB=5；

（2）①∵點(diǎn)C是劣弧OA的中點(diǎn)，
∴

OC

=

AC

∴∠OBC=∠DOC，
又∵∠C=∠C，
∴△OCB∽△DCO．
∴

OC

BC

=

CD

OC

即OC²=CD•CB；
②連接MC交OA于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理的推論，得ME⊥OA，

根據(jù)垂徑定理，得OE=6，
∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°，
∴AB是⊙M的直徑，由勾股定理得AB=13，
根據(jù)勾股定理，得ME=

MO2-ME2

=

6．52-62

=2.5．
∴CE=6.5-2.5=4，
即C（6，-4）；

（3）假定在⊙上存在點(diǎn)P，使S_△ABD=S_△POD，

∵OB∥EC，
∴△OBD∽△ECD，
∴

OB

EC

=

OD

ED

，
即

5

4

=

OD

6-OD

解得OD=

10

3

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BO=

65

3

，
∴S_△POD=

65

3

，
故可得在△POD中，OD邊上的高為13，即點(diǎn)P到x軸的距離為13，
∵⊙上的點(diǎn)到x軸的最大距離為9，
∴點(diǎn)P不在⊙上，
故在⊙上不存在點(diǎn)P，使S_△ABD=S_△POD．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題目，涉及了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，注意所學(xué)知識的融會(huì)貫通．