Question

已知拋物線y=

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x²+mx+n（n≠0）與直線y=x交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OB，BC∥x軸．

（1）拋物線的解析式；
（2）設(shè)D、E是線段AB上異于AB的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的右上方），DE=

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，過點(diǎn)D作y軸的平行線，交拋物線于F．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，△EDF的面積為s，把s表示為t的函數(shù)，并求自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，再過點(diǎn)E作y軸的平行線，交拋物線于G，試問能不能適當(dāng)選擇點(diǎn)D的位置，使EG=DF？如果能，求出此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出C（0，n），進(jìn)而得出B（n，n），A（-n，-n），然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）過E作EH⊥DF，H為垂足，由DE=

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，求得EH=1，設(shè)D（t，t），則F（t，

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t²+t-2），進(jìn)而求得DF的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求得把s表示為t的函數(shù)；
（3）根據(jù)D（t，t），EH=1，得出E（t+1，t+1），G[t+1，

1

2

（t+1）²+（t+1）-2]，根據(jù)EG=DF得出關(guān)于t的方程，解這個方程求得t的值，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令x=0，得y=n，
∴C（0，n），B（n，n），A（-n，-n），
把A、B坐標(biāo)代入y=

1

2

x²+mx+n（n≠0）得

n= 1 2 n2+mn+n -n= 1 2 n2-mn+n

，解得

m=1 n=-2

，
∴拋物線的解析式為y=

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2

x²+x-2；

（2）如圖1，過E作EH⊥DF，H為垂足，∵DE=

2

，
∴EH=1，
設(shè)D（t，t），則F（t，

1

2

t²+t-2），
∴DF=t-（

1

2

t²+t-2）=2-

1

2

t²
∴S_△EDF=

1

2

DF•EH=1-

1

4

t，（-2＜t＜1）；

（3）如圖2，∵D（t，t），EH=1，
∴E（t+1，t+1），G[t+1，

1

2

（t+1）²+（t+1）-2]，
∵EG=DF，
∴

1

2

（t+1）²+（t+1）-2--（

1

2

t²+t-2）=1，解得t=-

1

2

，
∴D（-

1

2

，-

1

2

）；

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積等知識點(diǎn)．試題有難度，需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計算．