Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20cm，∠ABC=120°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度，沿A→B的路線向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD，與AC相交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0＜t＜5．

（1）設(shè)四邊形PQCB的面積為S，求S與t的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)Q關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上？

（3）直線PN與AC相交于H點(diǎn)，連接PM，NM，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PN平分四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) ;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖1，根據(jù)S=S△ABC-S△APQ，代入可得S與t的關(guān)系式；
（2）設(shè)PM=x，則AM=2x，可得AP=x=4t，計(jì)算x的值，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)可得AM=2PM=，根據(jù)AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通過(guò)畫(huà)圖可知：N在CD上時(shí)，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據(jù)面積相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°，AC⊥BD，

∴∠OAB=30°，

∵AB=20，

∴OB=10，AO=10，

由題意得：AP=4t，

∴PQ=2t，AQ=2t，

∴S=S△ABC﹣S△APQ，

=，

= ，

=﹣2t2+100（0＜t＜5）；

（2）如圖2，在Rt△APM中，AP=4t，

∵點(diǎn)Q關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，

∴OM=OQ，

設(shè)PM=x，則AM=2x，

∴AP=x=4t，

∴x=，

∴AM=2PM=，

∵AM=AO+OM，

∴=10+10﹣2t，

t=；

答：當(dāng)t為秒時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上；

（3）存在，

如圖3，∵直線PN平分四邊形APMN的面積，

∴S△APN=S△PMN，

過(guò)M作MG⊥PN于G，

∴ ，

∴MG=AP，

易得△APH≌△MGH，

∴AH=HM=t，

∵AM=AO+OM，

同理可知：OM=OQ=10﹣2t，

t=10=10﹣2t，

t=．

答：當(dāng)t為秒時(shí)，使得直線PN平分四邊形APMN的面積．