Question

（1）問題背景：
如圖1，點A，B在直線l同側，在直線上找一點P，使AP+BP的值最�。�
作法如下：作點B關于直線L的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．
（2）實踐應用：
如圖2，等邊三角形中，E是AB的中點，P為高AD上一點，AD=3，求BP+PE的最小值．
（3）拓展延伸：
如圖3，∠AOB=30°，P是四邊形OACB內一定點，Q、R分別是OA、OB上的動點，當△PQR周長的最小值為5時，求OP的長．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）根據兩點之間線段最短，即可證得線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．
（2）由（1）可知CE就是BP+PE的最小值；
（3）設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點R、Q在CD上時，△PQR周長的值最小，最小值為CD的長，根據CD的長即可求得OP的長．

解答：解：（1）如圖1，因為兩點之間線段最短，所以線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

（2）如圖2，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，
∴B、C關于AD對稱，∠ABC=60°，
∴PB=PC，
∴EC就是BP+PE的最小值，
∵等邊三角形中，E是AB的中點，
∴CE⊥AB，
∴CE=AD=3，
∴BP+PE的最小值為3；

（3）分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點Q、R，連接OC、OD．
∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，
∴PQ=CQ，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為D，
∴PR=DR，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD．
∴OP=CD，
∵△PQR周長的最小值=PQ+QR+PR=CQ+QR+RD=CD，
∴OP=△PQR周長的最小值=5．

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了等邊三角形的知識．