Question

如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M．
（1）求證：CD與⊙O相切．
（2）若正方形ABCD的邊長為1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC是角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)正方形的邊長可以求得其對(duì)角線的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OC是圓的半徑的倍，從而根據(jù)對(duì)角線的長列方程求解．
解答：證明：（1）連OM，過O作ON⊥CD于N；
∵⊙O與BC相切，
∴OM⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴OM=ON，
∴CD與⊙O相切．

解：（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°，
∴AC=，∠MOC=∠MCO=45°，
∴MC=OM=OA，
∴OC=；
又∵AC=OA+OC，
∴OA+OA=，
∴OA=2-．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合了正方形的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)和判定．注意：運(yùn)用數(shù)量關(guān)系證明圓的切線的方法．