Question

已知二次函數(shù)y=-x²+2x+3圖象的對(duì)稱軸為直線．
（1）請(qǐng)求出該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；
（2）在坐標(biāo)系內(nèi)作出該函數(shù)的圖象；
（3）有一條直線過(guò)點(diǎn)P（1，5），若該直線與二次函數(shù)y=-x²+2x+3只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)求出所有滿足條件的直線的關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的圖象

專題：

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸的公式，可得答案；
（2）根據(jù)畫函數(shù)圖象的方法，可得拋物線的圖象；
（3）根據(jù)直線與拋物線相切，可得交點(diǎn)是一個(gè)，可得答案．

解答：解：（1）x=-

b

2a

=-

2

2×(-1)

=1；
（2）圖象                                  
（3）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸是x=1，點(diǎn)p（1，5）
當(dāng)過(guò)點(diǎn)p且與y軸平行的直線滿足與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)
所以直線x=1為所求直線                            
當(dāng)過(guò)點(diǎn)p的直線不與y軸平行時(shí)，設(shè)直線的解析式為y=kx+b，
令-x²+2x+3=kx+b
整理得-x²+（2-k）x+3-b=0由題意得△=（2-k）²+4（3-b）=0
即：k²-4k+16-4b=0
又因?yàn)閥=kx+b，過(guò)點(diǎn)p（1，5）
所以5=k+b
所以k²-4=0
解得k=±2，
當(dāng)k=2時(shí)，b=3；
當(dāng)k=-2時(shí)，b=7
所以解析式為y₁=2x+3，y₂=-2x+7，
所以滿足條件的直線有三條：直線x=1；y₁=2x+3，y₂=-2x+7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，a＜0時(shí)，圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是x=-

b

2a

．