Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：交于點(diǎn)，且．

（1）若是第二象限位于直線上方的一點(diǎn)，過作于，過作軸交直線于，為中點(diǎn)，其中的周長(zhǎng)是，若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值，此時(shí)軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在（1）的情況下，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，如圖2，將線段沿著軸平移，記平移過程中的線段為，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，或或

【解析】

（1）點(diǎn)，則點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線、過點(diǎn)M作y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)H， MH=MC=MC， 當(dāng)點(diǎn)E、M、H三點(diǎn)共線時(shí)，EM+MH=EM+MC最小， 點(diǎn)M，連接BM交于y軸于點(diǎn)G，此時(shí)最大，即可求解；

（2）設(shè)線段沿著x軸平移了m個(gè)單位，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，而點(diǎn)E，

①當(dāng)是菱形的邊時(shí)，則EP()==OA=，即可求解；

②當(dāng)是菱形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P(a，b)， 由中點(diǎn)公式得：，，而EO=EA，即：+=，即可求解.

（1）由AC: 得：點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：、，

∴AO=，CO=，，

則，則，

點(diǎn)B，點(diǎn)A，代入y=ax+b，

得：，解得：，

則直線AB的表達(dá)式為：，

∴BO=9，AO=

∴，則，，

∵FEAB，FD∥y軸，則，

設(shè)：DE=s，則DF=2s，EF=s， 的周長(zhǎng)是12+，解得：s=4，

D為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn) ，

s=ED=4，則，

則點(diǎn)，

過點(diǎn)C作x軸的垂線、過點(diǎn)M作y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)H，如圖1：

則，則MH=MC=MC，

當(dāng)點(diǎn)E、M、H三點(diǎn)共線時(shí)，EM+MH=EM+MC最小，

則，

作點(diǎn)M在直線AC上，則點(diǎn)M，

作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BM交于y軸于點(diǎn)G，如圖2：

則點(diǎn)G為所求，此時(shí)最大，

將B、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：，

解得：

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為；

綜上，EM+MC最小值為：， G的坐標(biāo)為：；

（2）將繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，

則為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則點(diǎn)，

設(shè)線段沿著x軸平移了m個(gè)單位，

則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，而點(diǎn)E，

①當(dāng)是菱形的邊時(shí)，

直線和直線AB的傾斜角都是，故∥∥AB，

則EP()==OA=，

則，

故點(diǎn)P，

同理點(diǎn);

②當(dāng)是菱形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P(a，b)，

由中點(diǎn)公式得：，，

而EO=EA，即：+=，

解得，b=-2，，

故：，b=-2，

則點(diǎn)P；

綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為：或或.