Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=4，CB=3，∠A=45°，P、Q分別是邊AB、CD上的動點，（點P不與點A、B重合），且有BP=2CQ．
（1）求AB的長；
（2）連接BD交PQ于E，當PQ⊥BD時，求CQ的長；
（3）以C為圓心，CQ為半徑作⊙C，以P為圓心，以PA的長為半徑作⊙P．當⊙C和⊙P相切時，求CQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，過點D作DF⊥AB于F，得到BF=CD=4，DF=BC=3，而∠A=45°，則AF=DF=3，即可得到AB的長；
（2）設CQ=x，則PB=2x，DQ=4-x，BD=5，當PQ⊥BD時，易證Rt△DEQ∽Rt△DCB，利用相似比可表示DE，即DE=（4-x），則BE=5-（4-x）=，又可證出Rt△DEQ∽Rt△BEP，利用相似比得到關于x的方程，解方程即可；
（3）設CQ=x，則PB=2x，PA=7-2x，分類討論：當⊙C和⊙P外切時，如圖2，PC=7-x，利用勾股定理得到4x²+9=（7-x）²；當⊙C和⊙P內切時，如圖3，PC=7-3x，利用勾股定理得到4x²+9=（7-3x）²．然后分別解方程得到滿足條件的x的值即可．
解答：解：（1）如圖1，過點D作DF⊥AB于F，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=4，CB=3，
∴BF=CD=4，DF=BC=3，
∵∠A=45°
∴AF=DF=3，
∴AB=AF+FB=4+3=7；

（2）設CQ=x，則PB=2x，DQ=4-x，BD=5，
當PQ⊥BD時，
易證Rt△DEQ∽Rt△DCB，
∴=，即=，
∴DE=（4-x），
∴BE=5-（4-x）=，
易證Rt△DEQ∽Rt△BEP，
∴，
∴，解得，x=4（舍去），
∴CQ=；

（3）設CQ=x，則PB=2x，PA=7-2x，
當⊙C和⊙P外切時，如圖2，PC=7-x，
在Rt△PBC中，PB²+BC²=PC²，
∴4x²+9=（7-x）²
解得：x=2，（舍去）；
當⊙C和⊙P內切時，如圖3，PC=7-3x，
在Rt△PBC中，PB²+BC²=PC²，
∴4x²+9=（7-3x）²
解得：，（舍去），
∴當⊙C和⊙P相切時，CQ=2或CQ=．
點評：本題考查了兩圓相切的性質：相切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和．也考查了三角形相似的判定與性質、一元二次方程的解法以及分類討論思想的運用．