Question

已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD（不是直徑）交于點(diǎn)F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：連結(jié)OD，設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)AB是⊙O的直徑，且CF=DF，在Rt△OFD中，根據(jù)勾股定理可得出AF的長(zhǎng)，在Rt△ACF中，根據(jù)勾股定理可求出AC的長(zhǎng)．

解答：解：方法一：如圖1，連結(jié)OD，設(shè)⊙O的半徑為R，
∵AB是⊙O的直徑，且CF=DF，
∴AB⊥CD，
∵OB=R  BF=2，則OF=R-2，
在Rt△OFD中，
由勾股定理得：R²=（R-2）²+4²，解得：R=5
∴AF=8．
在Rt△ACF中
由勾股定理得：AC=

CF2+AF2

=4

5

．
方法二：連結(jié)CB，
∵AB是⊙O的直徑，且CF=DF，
∴AB⊥CD，

BC

=

BD

，
∴tanA=tan∠1
∴

CF

AF

=

BF

CF

，
∴AF=8，
在Rt△ACF中
由勾股定理得：AC=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．